Appleman v2.0

Dopo che nell'ultimo articolo è stato fatto vedere come fare delle previsioni "fai da te" sulla formazione delle contrail, con un metodo sostanzialmente "vecchio", è arrivato il momento di spiegare un po' più in dettaglio il processo e perchè no avvalersi di modelli un po' più recenti.

Innanzitutto, come vengono tracciate le curve delle temperature critiche ?
Abbastanza semplice, tutto ciò di cui si ha bisogno è un modello per la pressione di saturazione del vapore acqueo su una superficie di acqua superraffreddata. Avrei potuto anche dire che c'è bisogno di un generatore di campo tachionico trifase, ma in questa sede ne faremo a meno.

Battute a parte vediamo un po' cosa è cosa:
Pressione di saturazione del vapore - è la pressione di equilibrio dinamico della fase gassosa e della fase liquida (in questo caso dell'acqua), o più precisamente è la pressione alla quale, per una fissata temperatura T*, il tasso di evaporazione dell'acqua ed il tasso di condensazione del vapore sono uguali.
Per questi modelli si parla di superraffreddamento perchè il range di temperature per cui tali modelli sono validi sono al di sotto degli 0 C° (273.15 K).
Quindi finora nulla di particolarmente strano. Di modelli per la pressione di saturazione del vapore ce ne sono un'infinità, di seguito riporto ne riporto alcuni:

Goff-Gratch (1946):

\\log{(p_w)} =  -7.90298 (\frac{373.16}{T}-1)+ 5.02808\cdot \log{(\frac{373.16}{T})}- 1.3816\cdot10^{-7} (10^{11.344 (1-\frac{T}{373.16})}-1) + 8.1328\cdot 10^{-3} (10^{-3.49149 (\frac{373.16}{T}-1)}  -1)  + \log(1013.246)

ove pw è la pressione di saturazione del vapore sull'acqua in [hPa], T è la temperatura in [K].

Murphy-Koop (2005):

\log(100\cdot p_w) = 54.842763 - \frac{6763.22}{T} - 4.21\cdot\log(T)+ 0.000367T + \tanh{(0.0415(T - 218.8))}\cdot(53.878 - \frac{1331.22}{T} - 9.44523\cdot\log(T) + 0.014025 T)

ove pw è la pressione di saturazione del vapore sull'acqua in [hPa], T è la temperatura in [K],
log(x) è il logaritmo in base 10 di x, tanh(x) è la tangente iperbolica di x definita come:

\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

con e, base del logaritmo naturale, pari a 2.718281828...
Ora è banale invertire le due formule per ricavare pw in funzione di T: sia nel primo che nel secondo caso infatti si ottengono delle espressioni della forma:

p_{w}(T)=a\cdot e^{f(T)}

Ora, cosa centra questo con le temperature critiche, il contrail factor e tutto il resto ? Presto detto:
Le contrail, sono sostanzialmente nuvole che si formano, quando una miscela di aria fredda e gas di scarico di un motore jet raggiunge la saturazione rispetto all'acqua. In questo modo si formano prima delle goccioline liquide, poi dei cristalli, che derivano dal veloce congelamento di queste goccioline (per questo più avanti si userà la curva di saturazione dell'acqua invece che del ghiaccio, come proposto da qualche autore).
Supponiamo ora di considerare un volume di controllo interno alla scia, come influenza il motore jet le condizioni di quantità di vapore contenuto nel volume di controllo e la sua temperatura ? Abbastanza semplice: basta considerare la quantità

\frac{\Delta r}{\Delta T}

r è quello che si chiama "mixing ratio", ossia la massa di vapore (Kg) su massa d'aria secca. Pertanto quello che esprime la formula è sostanzialmente il comportamento del motore jet in esame: per ogni grado di aumento di temperatura, la variazione del contenuto di vapore nel volume di controllo. Questo fattore è appunto il Contrail factor, funzione delle caratteristiche del motore. Le varie formulazioni del contrail factor sono state derivate praticamente tutte in modo empirico. Ciò non toglie che si possa derivare una relazione più precisa usando un modello più preciso del motore e del processo di combustione.
Il modello proposto da Schumann per il contrail factor è:

\frac{\Delta r}{\Delta T} = CF = \frac{E_{I}C_{p}}{Q(1-\eta)}

ove EI è l'indice di emissione di vapore (dipende dal carburante usato), Cp è il calore specifico dell'aria, Q è la temperatura di combustione, η è l'efficienza del motore, ed è definita come:

\eta = \frac{F \cdot v}{Q\frac{dm}{dt}}

dove, v è la velocità del velivolo (o del motore in esame, dal momento che sarebbe più corretto definire l'efficienza di un motore singolarmente), F è la spinta del motore, Q è la temperatura di combustione, dm/dt è la quantità di combustibile per unità di tempo che viene immessa nel motore e che dovrà essere bruciata.
Come legare tutto questo al discorso sulla pressione di saturazione del vapore ?
La pressione di saturazione del vapore è legata al mixing ratio ed alla pressione atmosferica nel seguente modo:

r = 621.97\cdot\frac{e_s}{p-e_s}

dove, r è il mixing ratio, es è la pressione di saturazione del vapore sull'acqua, e p è la pressione atmosferica in hPa (mb).
Dal momento che non ci si accontenta di trovare soltanto un rapporto incrementale, si fa il passaggio al limite ed il rapporto incrementale (Δr/ΔT) diventa una derivata. Però a questo punto abbiamo tutte le relazioni per poter scrivere un'espressione analitica (per definizione il tutto è ancora uguale a CF):

\frac{dr}{dT}=621.97\cdot\frac{d}{dT}(\frac{e_s(T_c)}{p-e_s(T_c)})=CF

La temperatura che soddisfa la relazione precedente è appunto la temperatura critica per l'umidità relativa del 100% (dal momento che la la curva della pressione di saturazione del vapore sostanzialmente descrive le caratteristiche di un'aria satura e quindi con umidità relativa del 100%, ossia quelle condizioni in o un'abbassamento della temperatura o l'aggiunta di altro vapore provocherebbe la condensazione). Quindi la temperatura critica in qualche modo rappresenta delle condizioni limite per la formazione delle contrail (appunto si impone la tangenza alla curva di saturazione in un punto).
Sviluppando la derivata nella relazione precedente si ottiene:

621.97\cdot\frac{d}{dT}(\frac{e_s(T_c)}{p-e_s(T_c)})=621.97\cdot\frac{p\cdot \frac{de_s(T_c)}{dT}}{(p-e_s(T_c))^{2}}

eguagliando la relazione a CF, si ha:

\frac{\frac{de_s(Tc)}{dT}}{(p-e_s(T_c))^{2}}-\frac{CF}{p\cdot 621.97}=0

si scrive la relazione nella forma f(Tc)=0 per motivi di chiarezza concettuale. Ora data la complicata espressione di es(T) (i due modelli che sono stati mostrati all'inizio della discussione) non è possibile tirare fuori Tc in modo analitico:
nessun problema, per quanto l'espressione in questione possa essere complicata dal momento che le funzioni in questione sono tutte piuttosto regolari (sostanzialmente delle esponenziali) è possibile risolvere f(Tc)=0 in modo numerico-iterativo (ad esempio anche usando il metodo di Newton-Raphson non smorsato, non si hanno problemi di convergenza).
Ora indicando con Tc* la temperatura critica che soddisfa l'equazione precedente (temperatura critica per l'umidità relativa del 100%), la temperatura critica per un'umidità relativa arbitraria si ottiene risolvendo rispetto a Tc:

T_{c}-T_{c}^{*}+\frac{e_{s}(T_{c}^{*})-u\cdot e_{s}(T_{c})}{\frac{de_{s}(T_{c}^{*})}{dT}}=0

il termine al denominatore però è stato ricavato in precedenza, ed è quello che contiene il contrail factor, sostituendo questa relazione nell'ultima equazione si ottiene:

T_{c}-T_{c}^{*}+\frac{e_{s}(T_{c}^{*})-u\cdot e_{s}(T_{c})}{\frac{CF\cdot (p-e_{s}(T_{c}^{*})^{2})}{621.97\cdot p}}=0

Sostituendo ora nell'equazione di sopra i dati numerici relativi alla pressione atmosferica p misurata (hPa) e umidità relativa u (valori nell'intervallo [0,1]) si possono ottenere le relative temperature critiche.
Ecco quindi che si ottendono le curve che normalmente si vedono nei diagrammi di Appleman, per varie umidità relative (la curva più in basso è relativa all'umidità relativa dello 0%, quella più in alto del 100%, quelle intermedie corrispondono a rh incrementati del 10%), le curve sono state tracciate usando il modello Murphy-Koop ed un CF = 0.039:

E' interessante notare che il contrail factor usato da Appleman era ritenuto costante (a differenza della formulazione du Schumann), e pari a 0.0336, valori più aggiornati si aggirano intorno a 0.039 (Boeing 747).
Per esempio ecco cosa succede alla temperatura critica a 0% di umidità relativa usando due contrail factor differenti:

Sostanzialmente quindi alla fine si prevede la formazione di una contrail se la temperatura dell'ambiente è inferiore alla temperatura critica.
Ora cos'ha a che fare tutto ciò con le chemtrails ? Sono convinto che tutti più o meno si siano scontrati con la domanda sciachimista: "Ma prima non erano così, non ce n'erano così tante! Come me lo spieghi questo?". Ecco la risposta a questa domanda: aumento del traffico aereo (osservazione controllata empiricamente) e differente contrail factor (che guardacaso aumenta all'aumentare dell'efficienza, in modo descritto dalla formula di Schumann), maggiore di quello di qualche anno fa a causa di motori più potenti e più efficienti.
Ora avvalendoci ancora una volta di dati reperiti dalla stazione di Pratica di Mare (RM) su questo sito, ci accingiamo a fare delle previsioni per la formazione delle contrail. Stavolta invece di riportare i puntazzi su una jpg, facciamo una cosa un po' più figa:
La temperatura critica è funzione dell'umidità relativa e della pressione. La pressione e l'umidità relativa sono a loro volta funzioni dell'altezza, ed i loro valori sono disponibili dalle misurazioni. Non resta che interpolare (uso un'interpolazione cubica) i dati, mettere le funzioni così ottenute nella formula per il contrail factor ottenendo così una temperatura critica funzione dell'altezza, e confrontare i due grafici con il profilo di temperatura:

ed un ingrandimento della regione di interesse:

I dati sono stati prelevati alle ore 12Z (ore 14.00 Roma) di Domenica 7 Settembre 2008. In rosso è tracciato il profilo delle temperature critiche, in nero, il profilo di temperatura effettivo. Negli intervalli di altezze in cui la temperatura è minore della temperatura critica (curva nera inferiore alla curva rossa), si formeranno le contrail.
Anche oggi niente da fare per presunte contrail a 3000 m di altezza a quanto pare :D.

Riferimenti:
"Calculations of Aircraft Contrail Formation Critical Temperatures" di Mark L. Schrader (1996)

"Contrail Studies and Forecasts in the Subarctic Atmosphere Above FAirbanks,
Alaska" di Martin Stuefer e Gerd Wendler (2004)

"Improved Contrail Forecasting Techniques for the Subarctic Setting of Fairbanks, Alaska"
Gerd Wendler and Martin Stuefer (2002)

"On Conditions for Contrail Formation from Aircraft Exhausts" di U. Schumann (1996)